MATEMATICAS 9°

INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL BEATRÍZ GUTIÉRREZ DE VIVES

ÁREA DE MATEMÁTICAS

GRADO Y/O CURSO: 9

DOCENTE: LOLIMAR CUELLO

NÚMERO Y NOMBRE DE LA UNIDAD: UNIDAD N°1 OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES

Tema: Simplificación de radicales

ESTÁNDAR:

Identifico y utilizo la potenciación, la radiación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas para resolver problemas

DERECHO BÁSICO DE APRENDIZAJE:

DBA 1 GRADO 9º Utiliza los números reales (sus operaciones, relaciones y propiedades) para resolver problemas con expresiones polinómicas

DBA 2 GRADO 9º Propone y desarrolla expresiones algebraicas en el conjunto de los números reales y utiliza las propiedades de la igualdad y de orden para determinar el conjunto solución de relaciones entre tales expresiones

EVIDENCIA DE APRENDIZAJE:

*Construye representaciones geométricas y numéricas de los números reales (con decimales, raíces, razones, y otros símbolos) y realiza conversiones entre ellas.

*Identifica y utiliza múltiples representaciones de números reales para realizar transformaciones y comparaciones entre expresiones algebraicas.

*Establece conjeturas al resolver una situación problema, apoyado en propiedades y relaciones entre números reales.

DESEMPEÑO DE APRENDIZAJE:

•Simplifica radicales aplicando las propiedades de la radicación con los números reales

•Reconoce las propiedades de la potenciación y la radicación de radicales

•Reconoce el significado de los exponentes racionales positivos y negativos y utiliza las leyes de los exponentes

CRITERIOS DE EVALUACIÓN:

-Solución adecuada de la guía-  taller.

-Puntualidad y responsabilidad en la entrega de tareas y trabajos asignados.

-Consulta de temas en Internet o en textos.

-Buena presentación de la solución de la guía-taller

-Dominio de habilidades procedimentales y actitudinales

-Dominio de habilidades procedimentales y actitudinales

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 

•MORA, Ana Julia. Guía de recursos. Ed. Santillana.

•MEJÍA FONSECA, Cristina Fernanda.  Desafíos matemáticos:  9º.  Ed. Norma.  Bogotá, 2001.

•ROJAS CENTENO, Gustavo y otros.  Nueva matemática constructiva: 9º, Ed.  Libros y Libres.  Bogotá, 2002.

•DURÁN PÉREZ, María Teresa y otros.  Matemáticas hacia el futuro: 9°  Ed. Migema.  Bogotá, 1999.

•ARDILA GUTIÉRREZ, Víctor Hernando.  Nova: 9º  Ed. Voluntad.  Bogotá, 1997.

•TORRES LÓPEZ, Blanca Nubia.  Olimpiadas matemáticas:  9º,   Ed. Voluntad.  Bogotá, 2000.

Estimado (a) estudiante:

Lee atentamente la siguiente información, siguiendo la secuencia del  tema y sus respectivos ejemplos, al final de la guía encontrarás actividades correspondientes a dicho tema, que debes desarrollar con mucho orden y responsabilidad. Las dudas e inquietudes serán resultas por la docente en el momento oportuno.

INFORMACIÓN

Las expresiones radicales son expresiones que incluyen un radical, el cual es el símbolo de calcular una raíz. Existen muchas formas de expresiones radicales, desde simples y familiares, como  , hasta complicadas, como  . En cualquier caso, podemos usar lo que sabemos de los exponentes para entender dichas expresiones.

Empecemos por explorar los radicales; después nos preocuparemos por cómo resolverlos.

El Radical

Un radical es un símbolo matemático usado para representar la raíz de un número. Veamos un ejemplo rápido: La frase "la raíz cuadrada de 81" está representada por la expresión radical . (En el caso de las raíces cuadradas, la expresión es comúnmente acortada a   — nota la ausencia del pequeño "2.") Cuando encontramos   estamos encontrando el número no negativo r tal que  , el cual es 9.

Mientras que las raíces cuadradas son probablemente el radical mas común, también podemos encontrar raíces cúbicas, raíces quintas, o cualquier otra raíz enésima de un número. La raíz enésima de un número puede ser representada por la expresión radical  .

Los radicales y los exponentes son operaciones inversas. Por ejemplo, sabemos que 9² = 81 y   = 9. Esta propiedad puede ser generalizada a todos los radicales y exponentes: para cualquier número, x, elevado al exponente n para producir el número y, la raíz enésima de y es x.

Podemos representar esta propiedad como:  . Aunque hay que tener en cuenta: es siempre válida si x ≥ 0, y si n es impar. Pero es inválida cuando x < 0 y n es par.

Trabajando con Radicales

Calcular la raíz cuadrada de un número requiere que hagamos una factorización. Tenemos que encontrar el número que al ser multiplicado por sí mismo produzca el número que tenemos.

Si nos pidieran encontrar , por ejemplo, probablemente nos vendría a la mente que 16 = 4² = 4 • 4. Mira — acabamos de factorizar 16 en 4 • 4.

La factorización es la clave para simplificar expresiones radicales. Si entendemos los exponentes como una multiplicación repetida, podemos pensar sobre los radicales de la misma manera — aunque la forma en la que pensamos sobre una multiplicación repetida bajo el signo del radical puede ser un poco diferente a lo que estamos acostumbrados.

Vamos a explorar esta idea de factorizar usando la expresión radical  . Podemos leer esto como "la raíz cúbica de 125." Para simplificar esta expresión, buscamos un número que, cuando se multiplique por sí mismo dos veces (para un total de tres factores idénticos), resulte 125. Factoricemos 125 y veamos si podemos encontrar ese número.

Ahora veamos un radical que no es una raíz cuadrada perfecta:  . Podemos encontrar la raíz de este radical usando el mismo método que usamos para . Factorizamos el número dentro del radical (también conocido como radicando), 63, buscando pares de factores que se puedan expresar como una potencia.

Entonces   es otra forma de escribir  . Usamos la factorización así como la idea de que   para simplificar este radical. También usamos otro truco útil — hemos separado los factores dentro del radical en factores individuales, cada uno dentro de su propio radical. A este truco se le conoce como la Propiedad de la Multiplicación de Raíces Cuadradas. Nos permite sacar cuadrados perfectos en la forma de factores que ya no pueden ser simplificados.

Forma Simple

 A veces los radicales incluyen variables, como en la expresión . Para simplificar estos radicales usamos la factorización, pero también tenemos que aplicar las reglas de los exponentes. Intentémoslo:

Encontramos que la raíz cuadrada de 49x²y⁴ es 7|x|y². Para comprobar este cálculo, podemos elevar al cuadrado 7|x|y², esperando obtener 49x²y⁴. (Y, de hecho, obtendrías esta expresión si evalúas (7|x|y²)².)

7|x|y² es también conocido como la forma simple de esta expresión radical.

Forma Simple

Para estar en su forma simple, una expresión radical:

·        Ha sido factorizada completamente y todos sus factores perfectos eliminados;

·        No puede contener una fracción;

·        Si está en forma fraccionaria, el denominador no puede contener una expresión radical.

La forma simple no es necesariamente una "mejor" forma de representar una expresión radical, es sólo una forma de hacerlo. De hecho, algunos problemas podrían ser más fáciles de resolver con una expresión radical que no ha sido simplificada. Sin embargo, usar la forma simple puede ayudar a entender expresiones radicales más complicadas.

Simplifiquemos una última expresión que incluye variables y fracciones

Eso fue complicado! Pero haciéndolo un paso a la vez, encontramos la solución.

*** ACTIVIDADES A DESARROLLAR***                                       

   De acuerdo con las propiedades de la potenciación y la radiación, vista anteriormente. Resuelve los siguientes ejercicios: